Was ist gauss verteilung?

Gaußverteilung (Normalverteilung)

Die Gaußverteilung, auch bekannt als Normalverteilung, ist eine der wichtigsten Wahrscheinlichkeitsverteilungen in der Statistik. Sie beschreibt die Verteilung von Zufallsvariablen, die sich um einen Mittelwert konzentrieren, wobei die Wahrscheinlichkeit mit zunehmender Entfernung vom Mittelwert abnimmt.

Wichtige Eigenschaften:

  • Glockenform: Die Gaußverteilung hat eine charakteristische glockenförmige Kurve.
  • Symmetrie: Die Verteilung ist symmetrisch um den Mittelwert (<a href="https://de.wikiwhat.page/kavramlar/Mittelwert">μ</a>).
  • Mittelwert, Median und Modus: Diese drei Kennzahlen sind identisch.
  • Parameter: Die Gaußverteilung wird durch zwei Parameter vollständig beschrieben:
    • Mittelwert (<a href="https://de.wikiwhat.page/kavramlar/Mittelwert">μ</a>): Bestimmt die Lage des Zentrums der Verteilung.
    • Standardabweichung (<a href="https://de.wikiwhat.page/kavramlar/Standardabweichung">σ</a>): Bestimmt die Breite der Verteilung. Eine größere Standardabweichung bedeutet eine breitere Verteilung.

Formel der Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion (PDF):

f(x) = (1 / (σ * √(2π))) * e^(-((x - μ)^2 / (2σ^2)))

Standardnormalverteilung:

Ein Spezialfall der Gaußverteilung ist die Standardnormalverteilung. Sie hat einen Mittelwert von 0 und eine Standardabweichung von 1. Sie wird oft mit Z bezeichnet. Jede beliebige Normalverteilung kann in eine Standardnormalverteilung transformiert werden (Z-Transformation).

Anwendungen:

Die Gaußverteilung findet in vielen Bereichen Anwendung, darunter:

  • Statistik: Grundlage für viele statistische Tests und Modelle.
  • Naturwissenschaften: Beschreibung von Messfehlern, physikalischen Prozessen.
  • Sozialwissenschaften: Modellierung von Bevölkerungsdaten, Testergebnissen.
  • Finanzwesen: Analyse von Aktienkursen.
  • Maschinelles Lernen: Viele Algorithmen basieren auf der Annahme, dass die Daten normalverteilt sind.

Zentraler Grenzwertsatz:

Ein wichtiger Grund für die Allgegenwart der Gaußverteilung ist der zentrale Grenzwertsatz. Dieser besagt, dass die Summe (oder der Durchschnitt) vieler unabhängiger, identisch verteilter Zufallsvariablen (unabhängig von ihrer ursprünglichen Verteilung) asymptotisch normalverteilt ist, wenn die Anzahl der Variablen groß genug ist.

Beispiele:

  • Körpergröße von Menschen
  • Blutdruckwerte
  • Intelligenzquotienten (IQ)

Weiterführende Konzepte:

  • <a href="https://de.wikiwhat.page/kavramlar/Wahrscheinlichkeit">Wahrscheinlichkeit</a>: Die Fläche unter der Kurve der Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion repräsentiert die Wahrscheinlichkeit, dass eine Zufallsvariable in einem bestimmten Bereich liegt.
  • <a href="https://de.wikiwhat.page/kavramlar/Konfidenzintervall">Konfidenzintervalle</a>: Basieren oft auf der Gaußverteilung.
  • <a href="https://de.wikiwhat.page/kavramlar/Hypothesentest">Hypothesentests</a>: Viele statistische Tests setzen eine Normalverteilung voraus.