Die Gaußverteilung, auch bekannt als Normalverteilung, ist eine der wichtigsten Wahrscheinlichkeitsverteilungen in der Statistik. Sie beschreibt die Verteilung von Zufallsvariablen, die sich um einen Mittelwert konzentrieren, wobei die Wahrscheinlichkeit mit zunehmender Entfernung vom Mittelwert abnimmt.
Wichtige Eigenschaften:
Formel der Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion (PDF):
f(x) = (1 / (σ * √(2π))) * e^(-((x - μ)^2 / (2σ^2)))
Standardnormalverteilung:
Ein Spezialfall der Gaußverteilung ist die Standardnormalverteilung. Sie hat einen Mittelwert von 0 und eine Standardabweichung von 1. Sie wird oft mit Z bezeichnet. Jede beliebige Normalverteilung kann in eine Standardnormalverteilung transformiert werden (Z-Transformation).
Anwendungen:
Die Gaußverteilung findet in vielen Bereichen Anwendung, darunter:
Zentraler Grenzwertsatz:
Ein wichtiger Grund für die Allgegenwart der Gaußverteilung ist der zentrale Grenzwertsatz. Dieser besagt, dass die Summe (oder der Durchschnitt) vieler unabhängiger, identisch verteilter Zufallsvariablen (unabhängig von ihrer ursprünglichen Verteilung) asymptotisch normalverteilt ist, wenn die Anzahl der Variablen groß genug ist.
Beispiele:
Weiterführende Konzepte:
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